1 Analisi de Fourier

Espais dotats de producte escalar (pre-Hilbert)

• Producte Escalar – espai pre-Hilbert – (∘, ∘)

• Norma – espai normat – || ∘ ||

• Distància – espai mètric – dist(∘, ∘)

1.1 Espai pre-Hilbert

𝕏 espai vectorial sobre ℝ (o ℂ) amb un ’producte escalar’ (∘, ∘), és a dir:

(∘, ∘) = 𝕏 × 𝕏 → ℂ
x, y → (x, y)

Exemple 1

𝕏 = ℝ^{3}

(x, y) = ∑_{i=1}^{3} x_{i}y_{i} = ||x||||y|| cos α

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}), y = …

Ha de ser ’ben definit’ i t.q. compleix els següents axiomes:

1. (x, y) = \overline{(y, x)}

2. (λx, y) = λ(x, y) ; λ ∈ ℂ

3. (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

4. (x, x) ≥ 0 i (x, x) = 0 ⟺ x = 0 Totes les demés propietats dels productes escalars es dedueixen d’aquests

axiomes. Exemple 2

𝕏 = C_{ℝ}[a, b];x ∈ 𝕏

(x, y) =^{def} ∫_{a}^{b} x(t)y(t)dt

satisfà els axiomes.

Exemple 3 (dels axiomes)

(x, λy)?

(x, λy) = \overline{\overline{(x, λy)}} = \overline{(λy, x)} = \overline{λ(y, x)} = \overline{λ}\overline{(y, x)} = \overline{λ}(x, y) També:

(0, x) = 0(x, y + z) = (x, y) + (x, z)

1.2 Espai normat

𝕏 espai vectorial amb una ’norma’ ||x||, és a dir:

|| ∘ || : 𝕏 → ℝ
x → ||x||

Ben definit, i amb els següents axiomes:

1. ||x|| ≥ 0 i ||x|| = 0 ⟺ x = 0

2. ||λx|| = |λ|||x||

3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Si tinc un producte escalar, també tinc la seva norma associada:

||x|| = \sqrt{(x, x)}

Exercici 1 Demostrar i comentar la llei del paral·lelogram.

𝕏 pre-H amb norma associada || ∘ ||

||x + y||^{2} + ||x − y||^{2} = 2||x||^{2} + 2||x||^{2}  (1)

||x+y||^{2} = (x+y, x+y) = (x, x)+(x, y)+(y, x)+(y, y) = ||x|^{2}+(x, y)+(y, x)+||y||^{2}

||x − y||^{2} = … = ||x|| − (x, y) − (y, x) + ||y||^{2}

Cas particular en el que x i y són ORT (per ex. 𝕏 = ℝ^{3}):

(x, y) = (y, x) = 0 ⇓

||x + y||^{2} = ||x||^{2} + ||y||^{2}

1.3 Espai mètric 𝕏

d(x, y)

𝕏 conjunt amb certs elements i una distància d(∘, ∘) = 𝕏 × 𝕏 → ℝ tal que:

1. d(x, y) ≥ 0 i d(x, y) = 0 ⟺ x = y

2. d(x, y) = d(y, x)

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Amb la idea de proximitat, tenim els següents conceptes: Definició 1 (límit) Sigui (X_{k})_{k≥1} una successió de vectors x_{1}, x_{2}, … ∈ 𝕏 que té límit x (o convergeix a x) quan d(x_{k}, x)_{k→inf} → 0 (d(x_{1}, x), d(x_{2}, x), … → 0)

Successió convergent, successió de Cauchy, continuitat. Exercici 2 Recordar la llei del paral·lelogram:

||x + y||^{2} + ||x − y||^{2} = 2||x||^{2} + 2||y||^{2}

||x + y||^{2} = (x + y, x + y) = ||x||^{2} + (x, y) + (y, x) + ||y||^{2} = ||x||^{2} + 2Re(x, y) + ||y||^{2}

≤ ||x||^{2} + 2|(x, y)| + ||y||^{2} ≤ ||x||^{2} + 2||x||||y|| + ||y||^{2} = (||x|| + ||y||)^{2}

⇒ ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

A partir d’això, obtenim la Desigualtat de Cauchy-Swarz:

|(x, y)| ≤ ||x||||y|| ⇒ ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||  (2)

Exercici 3 (esp. normat). Donats x, y:

||x|| − ||y|| = ?

1. ||x|| = ||x − y + y|| ≤^{Des.triang} ||x − y|| + ||y||

||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||

2. (x ↔ y)

||y|| − ||x|| ≤ ||y − x|| = ||x − y||

⊗(−1): ||x|| − ||y|| ≥ −||x − y||

obtenim: |||x|| − ||y||| ≤ ||x − y|| Exercici 4 A ℝ^{2}:

||x||_{1} = |x_{1}| + |x_{2}| trobar x ∈ ℝ^{2} t.q. ||x||_{1} = 1

En el camí de provar la desigualtat de Cauchy-Swarz... i si hi ha igualtat? (ens trobem amb el mètode de Gram-Schmid per ORT. vectors)