Formulari de Telecos

Lluís Batlle i Rossell ^{∗} 21 de maig de 2002

Última actualització: 12 de febrer de 2003

∗e-mail: vindicator@jazzfiesta.com

Copyright \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2003 Lluís Batlle i Rossell. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled “GNU Free Documentation License”.

1 Constants

1.1 Camps electromagnètics

Constant  Variable Valor  Unitats
Permitivitat del buit  ϵ_{0}  8.85418782 · 10^{−12} F/m
Permeabilitat del buit  μ_{0}  4π · 10^{−7}  H/m
Velocitat de la llum  c  2.99792458 · 10^{8}  m/s
Impedància intrínseca del buit:  η_{0}  376.73  Ω
Càrrega de l’electró:  e  1.602177 · 10^{−19}  C
Constant de Boltzmann:  k  1.3806 · 10^{−23}  J/K
Constant de Planck:  h  6.62607 · 10^{−34}  J · s

2 Matemàtiques

2.1 Trigonometria

Les multiplicacions de senoides són: 1. sin(a) sin(b) = \frac{cos(a − b) − cos(a + b)}{2}

2. cos(a) cos(b) = \frac{cos(a − b) + cos(a + b)}{2}

3. sin(a) cos(b) = \frac{sin(a + b) + sin(a − b)}{2}

4. cos^{2}(a) = 1 − sin^{2}(a) = \frac{1 + cos(2a)}{2}

5. cos^{3}(a) = \frac{cos(3a) + 3 cos(a)}{4}

6. sin^{2}(a) = 1 − cos^{2}(a) = \frac{1 − cos(2a)}{2} Les senoides de sumes i restes són:

1. sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

2. sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)

3. cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)

4. cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) Relació entre senoides i els seus arcs:

cos(arcsin x) = sin(arcsin x) = \sqrt{1 − x^{2}}

2.2 Complexes

ℜ(x)ℜ(y) = \frac{x + x^{∗}}{2} \frac{y + y^{∗}}{2} = \frac{1}{2}ℜ(xy + xy^{∗})
ℑ(x)ℜ(y) = ℜ(−jx)ℜ(y) = \frac{1}{2}ℑ(xy + xy^{∗})

2.3 Sèries

Tenim que les sèries són de la forma:

∑_{n=1}^{N} x_{n} = S_{N}

• Geomètriques (condició de convergència: |r| < 1):

x_{n} = ar^{n−1}
S_{N} = \frac{a(1 − r^{n})}{1 − r}

• Telescòpiques:

x_{n} = φ(n) − φ(n + 1)
S_{N} = φ(1) − lim φ(n + 1)

• Hipergeomètriques (condició de convergència: δ > α + β):

\frac{x_{n+1}}{x_{n}} = \frac{αn + β}{αn + δ}
S_{∞} = \frac{δx_{1}}{δ − α − β}

2.4 Aproximacions

2.4.1 Desenvolupament de Taylor

El desenvolupament limitat de Taylor d’ordre n de f en a es pot fer si f : U → ℝ és una funció n − 1 vegades derivable en U (entorn del punt a ∈ ℝ i n vegades derivable en a). El desenvolupament és:

f(x) = p_{n}(x) + r_{n}(x)

on r_{n}(x) = o[(x − a)^{n}] i essent

p_{n}(x) = f(a) + ∑_{i=1}^{n}(x − a)^{i} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}

A p_{n}(x) se l’anomena el polinomi de Taylor de grau n de f en a. Si a = 0, el desenvolupament i el seu polinomi s’anomenen de Mac Laurin.

A continuació hi ha una taula amb desenvolupaments limitats d’algunes funcions elementals:

1. e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ⋯ + \frac{x^{n}}{n!} + o(x^{n}) (∀x ∈ ℝ)

2. sin x = x − \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} − ⋯ + (−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) (∀x ∈ ℝ)

3. cos x = 1 − \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} − ⋯ + (−1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}) (∀x ∈ ℝ)

4. \frac{1}{1−x} = 1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{n} + o(x^{n}) (∀x ∈ ℝ)

5. ln(1 + x) = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} − ⋯ + (−1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n} + o(x^{n}) (x > −1)

6. (1 + x)^{a} = 1 + \frac{α}{1!}x + \frac{α(α−1)}{2!}x^{2} + ⋯ + \frac{α(α−1)···(α−n+1)}{n!} + o(x^{n}) (x > −1)

2.4.2 Polinomis de Chebychev Els polinomis de Chebychev són equivalents a:

C_{n}(x) = \begin{cases}cos(n arccos x) & |x| ≤ 1 \\ cosh(n arccos x) & |x| ≥ 1 \end{cases}

Fórmula general:

C_{n}(x) = ∑_{k=0}^{[n/2]} \binom{n}{2k}x^{n−2k}(x^{2} − 1)^{k}

Fórmula recursiva:

\begin{aligned}C_{0}(x) & = 1 \\ C_{1}(x) & = x \\ C_{n}(x) & = 2xC_{n−1}(x) − C_{n−2} \end{aligned}

2.5 Integració

2.5.1 Integral per parts

∫ f′(x)g(x) dx = f(x)g(x) − ∫ f(x)g′(x) dx

2.5.2 Integrals immediates

1. ∫ x^{2} dx = \frac{x^{p} + 1}{p + 1}

2. ∫ \frac{1}{x} dx = ln(x)

3. ∫ e^{x} dx = e^{x}

4. ∫ a^{x} dx = \frac{1}{ln a}a^{x}

5. ∫ sin x dx = − cos x

6. ∫ cos x dx = sin x

7. ∫ \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \sqrt{x}

8. ∫ (1 + tan^{2} x) dx = ∫ \frac{1}{cos^{2} x} dx = tan x

9. ∫ \frac{−1}{sin^{2} x} dx = cot x

10. ∫ sinh dx = cosh x 11. ∫ cosh dx = sinh x

12. ∫ \frac{1}{1 + x^{2}} dx = arctan x

13. ∫ \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx = arcsin x

14. ∫ \frac{−1}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx = arccos x

15. ∫ \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} dx = arcsinh x = ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})

16. ∫ \frac{1}{\sqrt{x^{2} − 1}}dx = arccosh x = ln(x + \sqrt{x^{2} − 1})

17. ∫ \frac{1}{1 − x^{2}} dx = arctanh x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + x}{1 − x})

2.5.3 Teorema de Cauchy-Schwartz Si considerem U i V funcions complexes, tenim que:

∫ |U|^{2} ∫ |V |^{2} ≥ |∫ UV^{∗}|^{2}

2.6 Vectors

2.6.1 Definicions Coordenades rectangulars ( A = xx̂ + yŷ + zẑ, f = f(A) ):

1. ∇f = \frac{∂f}{∂x} x̂ + \frac{∂f}{∂y} ŷ + \frac{∂f}{∂z} ẑ

2. ∇ · A = \frac{∂A_{x}}{∂x} + \frac{∂A_{y}}{∂y} + \frac{∂A_{z}}{∂z}

3. ∇ × A = (\frac{∂A_{z}}{∂y} − \frac{∂A_{y}}{∂z} ) x̂ + (\frac{∂A_{x}}{∂z} − \frac{∂A_{z}}{∂x} ) ŷ + (\frac{∂A_{y}}{∂x} − \frac{∂A_{x}}{∂y} ) ẑ

4. ∇^{2}f = \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}f}{∂z^{2}}

5. ∇^{2}A = ∇^{2}A_{x}x̂ + ∇^{2}A_{y}ŷ + ∇^{2}A_{z}ẑ = ∇(∇ · A) − ∇ × (∇ × A) Coordenades cilíndriques:

1. ∇f = \frac{∂f}{∂ρ} ρ̂ + \frac{1}{ρ} \frac{∂f}{∂ϕ} ϕ̂ + \frac{∂f}{∂z} ẑ

2. ∇ · A = \frac{1}{ρ} \frac{∂}{∂ρ}(ρA_{ρ}) + \frac{1}{ρ} \frac{∂A_{ϕ}}{∂ϕ} + \frac{∂A_{z}}{∂z}

3. ∇ × A = (\frac{1}{ρ} \frac{∂A_{z}}{∂ϕ} − \frac{∂A_{ϕ}}{∂z} ) ρ̂ + (\frac{∂A_{ρ}}{∂z} − \frac{∂A_{z}}{∂ρ} ) ϕ̂ + \frac{1}{ρ} [\frac{∂}{∂ρ}(ρA_{ϕ}) − \frac{∂A_{ρ}}{∂ϕ} ] ẑ 4. ∇^{2}f = \frac{1}{ρ} \frac{∂}{∂ρ} (ρ\frac{∂f}{∂ρ} ) + \frac{1}{ρ^{2}} \frac{∂^{2}f}{∂ϕ^{2}} + \frac{∂^{2}f}{∂z^{2}} 5. ∇^{2}A = ∇(∇ · A) − ∇ × (∇ × A) Coordenades esfèriques:

1. ∇f = \frac{∂f}{∂r} r̂ + \frac{∂f}{r ∂θ} θ̂ + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂f}{∂ϕ} ϕ̂

2. ∇ · A = \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2}A_{r}) + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂}{∂θ} (A_{θ} sin θ) + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂A_{ϕ}}{∂ϕ}

3. ∇×A = \frac{1}{r sin θ} [\frac{∂}{∂ϕ}(A_{ϕ} sin θ) − \frac{∂A_{θ}}{∂ϕ} ] r̂+\frac{1}{r} [\frac{1}{sin θ} \frac{∂A_{r}}{∂ϕ} − \frac{∂(rA_{ϕ})}{∂r}] θ̂+\frac{1}{r} [\frac{∂(rA_{θ})}{∂ρ} − \frac{∂A_{r}}{∂θ} ] ϕ̂

4. ∇^{2}f = \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂f}{∂r} ) + \frac{1}{r^{2} sin θ} \frac{∂}{∂θ} (sin θ \frac{∂f}{∂θ} ) + \frac{1}{r^{2} sin^{2} θ} \frac{∂^{2}f}{∂ϕ^{2}}

5. ∇^{2}A = ∇(∇ · A) − ∇ × (∇ × A)

2.6.2 Identitats 1. (A × B) · C = A · (B × C)

2. A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B)

3. ∇(fg) = f∇g + g∇f

4. ∇(a/b) = (1/b)∇a − (a/b^{2})∇b

5. ∇(A · B) = (B · ∇)A + (A · ∇)B + B × (∇ × A) + A × (∇ × B)

6. ∇ · (fA) = (∇f) · A + f(∇ · A)

7. ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) = ∇A × B + A∇ × B

8. (∇ · ∇)f = ∇^{2}f

9. ∇ × (∇f) = 0

10. ∇ · (∇ × A) = 0

11. ∇ × (fA) = (∇f) × A + f(∇ × A)

12. ∇ × (A × B) = (B · ∇)A − (A · ∇)B + (∇ · B)A − (∇ · A)B

13. ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇^{2}A

14. A · (B × C) = C · (A × B)

2.6.3 Vectors unitaris Coordenades cilíndriques - rectangulars:

ρ̂ = x̂ cos ϕ + ŷsin ϕ
ϕ̂ = −x̂ sin ϕ + ŷcos ϕ
ẑ = ẑ
x̂ = ρ̂cos ϕ − ϕ̂ sin ϕ
ŷ = ρ̂sin ϕ + ϕ̂ cos ϕ
ẑ = ẑ

Coordenades esfèriques - rectangulars:

r̂ = x̂ sin θ cos ϕ + ŷsin θ sin ϕ + ẑcos θ
θ̂ = x̂ cos θ cos ϕ + ŷcos θ sin ϕ − ẑsin θ
ϕ̂ = −x̂ sin ϕ + ŷcos ϕ
x̂ = r̂sin θ cos ϕ + θ̂cos θ cos ϕ − ϕ̂ cos ϕ
ŷ = r̂sin θ sin ϕ + θ̂cos θ sin ϕ + ϕ̂ sin ϕ
ẑ = r̂cos θ − θ̂sin θ

Coordenades cilíndriques - esfèriques:

ρ̂ = r̂sin θ + θ̂cos θ
ϕ̂ = ϕ̂
ẑ = r̂cos θ − θ̂sin θ
r̂ = ρ̂sin θ + ẑcos θ
θ̂ = ρ̂cos θ − ẑsin θ
ϕ̂ = ϕ̂

3 Transformada de Fourier

3.1 Convolució

Definim l’operador de convolució ∗ com:

x(t) ∗ y(t) = ∫_{−∞}^{∞} x(τ)y(t − τ)dz

3.1.1 Propietats La convolució és associativa:

z(t) = x(t) ∗ [y(t) ∗ h(t)] = [x(t) ∗ y(t)] ∗ h(t) = x(t) ∗ y(t) ∗ h(t) La convolució és distributiva respecte a la suma:

z(t) = h(t) ∗ [x(t) + y(t)] = h(t) ∗ x(t) + h(t) ∗ y(t)

Suposant que y(t) = x(t) ∗ h(t):

• y(−t) = x(−t) ∗ h(−t)

• y^{∗}(t) = x^{∗}(t) ∗ h^{∗}(t)

• y(t − t_{0}) = x(t − t_{0}) ∗ h(t) = x(t) ∗ h(t − t_{0})

3.2 Transformació

En el domini freqüencial:

X(f) = F[x(t)] = ∫_{−∞}^{∞} x(t)e^{−j2πft}dt
x(t) = F^{−1}[X(f)] = ∫_{−∞}^{∞} X(f)e^{j2πft}df

En el domini pulsatori:

X(ω) = F[x(t)] = ∫_{−∞}^{∞} x(t)e^{−jωt}dt
x(t) = F^{−1}[X(ω)] = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} X(ω)e^{jωt}dω

3.3 Propietats

Linealitat:

F[a_{1}x_{1}(t) + a_{2}x_{2}(t)] = a_{1}X_{1}(f) + a_{2}X_{2}(f)

Conjugació:

F[x^{∗}(t)] = X^{∗}(−f)

Simetries:

x(t)parell ⟺ X(f)parell
x(t)imparell ⟺ X(f)imparell

Si x(t) és Real: X(f) = X^{∗}(−f) Si x(t) és Imaginari: X(f) = −X^{∗}(−f)

3.3.1 Retard

F[x(t − t_{0})] = e^{−j2πft_{0}}X(f)

Com a conseqüència d’aquesta pròpietat, un filtre ideal corresponent a un s.l.i. definit per H(f) ha de tenir mòdul constant i fase lineal:

Y (f) = X(f) H(f) = kX(f) e^{−j2πft_{0}} ⇒ H(f) = k e^{−j2πft_{0}}

Escalat:

F[x(at)] = \frac{1}{|a|}X(\frac{1}{a})

Dualitat: Si F[x(t)] = X(f) : F[X(t)] = x(−f) Si F[x(t)] = X(ω) : F[X(t)] = 2πx(−ω) Modulació:

F[x(t) e^{j2πf_{0}t}] = X(f − f_{0})

3.3.2 Convolució i producte Si F[x(t)] = X(f) :

x(t) ∗ y(t) ⟷^{F} X(f)Y (f)
x(t)y(t) ⟷^{F} X(f) ∗ Y (f)

Si F[x(t)] = X(ω) :

x(t) ∗ y(t) ⟷^{F} X(ω)Y (ω)
x(t)y(t) ⟷^{F} \frac{1}{2π} X(ω) ∗ Y (ω)

4 Comunicacions

4.1 Correlació i Espectre

1. S_{xy}(ω) = X(ω) Y^{∗}(ω)

2. E_{xy} = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} S_{xy}(ω) dω = R_{xy}(0) ⩾ R_{xy}(τ)

3. P_{xx} = \frac{1}{2π} lim_{T →∞} \frac{1}{T} ∫_{T} S_{xx}(ω) dω

4. R_{xy}(τ) = ∫_{−∞}^{∞} x(t + τ) y^{∗}(t) dt = x(τ) ∗ y^{∗}(−τ)

5. R_{xy}(τ) = R_{yx}^{∗}(−τ)

6. R_{yx}(τ) = h(τ) ∗ R_{xx}(τ)

7. R_{yy}(τ) = R_{xx}(τ) ∗ h(τ) ∗ h^{∗}(−τ) = R_{yx}(τ) ∗ h^{∗}(−τ)

4.2 Processos

R_{xy}(τ) = E[x(t + τ) y^{∗}(t)]
P_{m} = R(0)

4.3 Transmissió

L = \frac{P_{e}}{P_{s}}

\frac{P_{s}}{P_{e}} = G_{T} G_{R}(\frac{λ}{4πl} )^{2}

4.4 Transformada de Hilbert

1. A_{x}(ω) = 2X(ω)u(ω)

2. a_{x}(t) = x(t) + jx̂(t)

3. x̂(t) = x(t) ∗ \frac{1}{πt}

4. x(t) = \frac{1}{π} ℜ [∫_{0}^{∞} X(ω)e^{jωt} dω]

5. x̂(t) = \frac{1}{π} ℑ [∫_{0}^{∞} X(ω)e^{jωt} dω]

6. X̂(ω) = −j sign(ω) X(ω) 4.4.1 Correlació Si x(t) és un senyal passa-banda, a_{x}(t) la seva part analítica i b_{x}(t) l’equivalent pas baixes:

1. R_{x̂x̂}(τ) = R_{xx}(τ)

2. R_{xx̂}(τ) = −R̂_{xx}(τ) = −R_{x̂x}

3. R_{a_{x}}(τ) = 2 [R_{x}(τ) + jR̂_{x}(τ)]

4. R_{b_{x}}(τ) = 2 [R_{i_{x}}(τ) + jR_{q_{x}i_{x}}(τ)]

5. R_{a_{x}a_{x^{∗}}} (τ) = R_{b_{x}b_{x^{∗}}} (τ) = 0

6. R_{b_{x}}(τ) = R_{a_{x}}(τ)e^{−jω_{0}τ}

7. R_{i_{x}}(τ) = R_{q_{x}}(τ) = \frac{1}{2}ℜ[R_{b_{x}}(τ)] = R_{x}(τ) cos ω_{0}τ + R̂_{x}(τ) sin ω_{0}

8. R_{q_{x}i_{x}}(τ) = \frac{1}{2}ℑ[R_{b_{x}}] = R̂_{x}(τ) cos ω_{0}τ − R_{x}(τ) sin ω_{0}τ = −R_{q_{x}i_{x}}(τ) Propietats de les correlacions:

R_{i_{x}q_{x}}(τ) = −R_{q_{x}i_{x}}(τ) = R_{q_{x}i_{x}}(−τ) = −R_{i_{x}q_{x}}(−τ)

Potència del senyals en fase i en quadratura:

P_{i_{n}} = P_{q_{n}} = R_{i_{n}i_{n}}(0) = R_{q_{n}q_{n}}(0) = R_{nn}(0) = P_{n}

4.4.2 Espectre Si n(t) és un senyal passa-banda:

S_{i_{n}i_{n}}(ω) = S_{nn}(ω − ω_{0}) u(−ω + ω_{0}) + S_{nn}(ω + ω_{0}) u(ω + ω_{0}) S_{q_{n}i_{n}}(ω) = jS_{nn}(ω − ω_{0}) u(−ω + ω_{0}) − jS_{nn}(ω + ω_{0}) u(ω + ω_{0})

Espectres dels processos:

S_{a_{n}}(f) = 4S_{n}(f)u(f)
S_{b_{n}}(f) = 4S_{n}(f + f_{0})u(f + f_{0}) = 2[S_{i_{n}}(f) + jS_{q_{n}i_{n}}(f)]

4.4.3 Retards de fase i de grup

t_{ph} = −\frac{φ_{H}(ω_{0})}{ω_{0}}

t_{gr} = \frac{dφ_{H}(ω)}{dω}|_{ω=ω_{0}}

4.4.4 Senyals en fase i quadratura Si x(t) és un senyal passa-banda:

x(t) = i_{x}(t) cos ω_{0}t − q_{x}(t) sin ω_{0}t = ℜ[b_{x}(t) e^{jω_{0}t}]

x(t) = e(t) cos(ω_{0}t + ϕ(t) ) on e(t) = \sqrt{i_{x}(t)^{2} + q_{x}(t)^{2}}, ϕ(t) = arctan \frac{q_{x}(t)}{i_{x}(t)}

x̂(t) = i_{x}(t) sin ω_{0}t + q_{x}(t) cos ω_{0}t = ℑ[b_{x}(t) e^{jω_{0}t}]
i_{x}(t) = x(t) cos ω_{0}t + x̂(t) sin ω_{0}t = ℜ[a_{x}(t) e^{−jω_{0}t}]
q_{x}(t) = −x(t) sin ω_{0}t + x̂(t) cos ω_{0}t = ℑ[a_{x}(t) e^{−jω_{0}t}]

5 Camps elèctromagnètics

5.1 Relacions bàsiques entre variables

1. Longitud d’ona: λ = \frac{v}{f}

2. Velocitat de l’ona: v = \frac{c}{n} = \frac{1}{\sqrt{με}}

3. Pulsació de l’ona: ω = 2πf

4. Impedància intrínseca del medi: η = μv

5. Nombre d’ona: k = \frac{ω}{v}

En ones electromagnètiques en règim sinusoidal permanent tenim que els fasors compleixen la següent relació:

H⃗ = \frac{k⃗}{η} × E⃗

5.2 Lleis de Maxwell

5.2.1 Forma integral al buit Lleis de Gauss:

∮_{S} E⃗ ds⃗ = \frac{Q}{ε_{0}}

∮_{S} B⃗ ds⃗ = 0 Llei de Maxwell-Faraday:

∮_{C} E⃗ dl⃗ = \frac{d}{dt} ∫_{S} B⃗ ds⃗

Llei d’Ampère-Maxwell:

∮_{C} B⃗ dl⃗ = μ_{0} (I + ε_{0} ∫_{S} \frac{dE⃗}{dt} ds⃗)

Equació de continuitat:

∮_{S} J⃗ ds⃗ = − ∫_{V} \frac{∂ρ}{∂t} dv

5.2.2 Forma diferencial al buit Lleis de Gauss:

∇ · E⃗ = \frac{ρ}{ε_{0}}

∇ · B⃗ = 0

Llei de Maxwell-Faraday:

∇ × E⃗ = −\frac{∂B⃗}{∂t}

Llei d’Ampère-Maxwell:

∇ × B⃗ = μ_{0} (J⃗ + \frac{∂(ε_{0}E⃗)}{∂t})

Equació de continuitat:

∇ · J⃗ = −\frac{∂ρ}{∂t}

5.3 Condicions de contorn

n̂ · (D⃗_{2} − D⃗_{1}) = σ_{f}
n̂ · (B⃗_{2} − B⃗_{1}) = 0
n̂ × (E⃗_{2} − E⃗_{1}) = 0
n̂ × (H⃗_{2} − H⃗_{!}) = J⃗_{sf}

5.4 Incidència d’ones planes sobre la superfície de separa-

ció de dos dielèctrics

Essent i l’angle d’incidència, r el reflexat i t el transmès, i les ones incidents amb polarització lineal, aquesta és la Llei d’Snell:

sin t = \frac{n_{1}}{n_{2}} sin i

Les fórmules de Fresnel per a incidència amb E⃗ perpendicular o paral·lel al pla d’incidència, i tenint que el coeficient de reflexió és ρ = \frac{E_{or}}{E_{oi}} i el de transmissió τ = \frac{E_{ot}}{E_{oi}} :

\frac{1}{η_{1}} (1 − ρ_{⊥}) cos i = \frac{τ_{⊥}}{η_{2}} cos t

ρ_{⊥} = \frac{η_{2} cos i − η_{1} cos t}{η_{2} cos i + η_{1} cos t} = \frac{n_{1} cos i − n_{2} cos t}{n_{1} cos i + n_{2} cos t}

τ_{⊥} = \frac{2η_{2} cos i}{η_{2} cos i + η_{1} cos t}

En el cas d’incidència de E⃗ paral·lela al pla d’incidència tenim:

ρ_{∥} = \frac{η_{2} cos t − η_{1} cos i}{η_{2} cos t + η_{1} cos i} = \frac{n_{1} cos t − n_{2} cos i}{n_{1} cos t + n_{2} cos i}

τ_{∥} = \frac{2η_{2} cos i}{η_{2} cos t + η_{1} cos i}

El coeficient de Fresnel és el que correspon a i = 0 ⇒ t = 0, i correspon a:

ρ_{∥} = ρ_{⊥} = \frac{n_{1} − n_{2}}{n_{1} + n_{2}}

5.4.1 Cancel·lació de l’ona reflexada

L’angle de Brewster és en el que es cancel·la l’ona reflexada. Es pot dir que ∃ i = i_{B} / ρ_{∥}(i_{B}) = 0. Aquest angle és tal que:

t = \frac{π}{2} − i = arctan \frac{n_{2}}{n_{1}}

i per aconseguir que ρ_{⊥} = 0, s’ha de complir

i = t ⇒ n_{1} = n_{2}

cosa que significa que ρ_{⊥}(i) ≠ 0 ∀ i.

5.4.2 Reflexió total

Correspon a la cancel·lació del raig transmès (no l’ona). Només pot passar sii n1 > n2, i es dóna quan incidim amb un angle i > i_{c} / i_{c} = sin^{−1} \frac{n_{2}}{n_{1}} . A més, passa per les dues polaritzacions.

En el cas de reflexió total, ρ, τ ∈ ℂ i |ρ| = 1. També tenim que t = \frac{π}{2} − jγ ∈ ℂ, on sin t > 1 i cos t = −jγ. Al final, l’ona complexa acaba essent de la forma:

e^{−jk⃗_{t}r⃗} = e^{−jk_{0}n_{2}y sin t} \underbrace{e^{k_{0}n_{2}γz}}_{evanescent}

on el factor e^{−αz} compleix que:

α = k_{0}n_{2}\sqrt{\frac{n_{1}^{2}}{n_{2}^{2}} sin^{2} i − 1}

5.5 Guies d’ona

β = \sqrt{k^{2} − k_{x}^{2} − k_{y}^{2}}

f_{c} = \frac{v}{2} \sqrt{(\frac{n}{a})^{2} + (\frac{m}{b})^{2}}

5.6 Conductors

k = β − jα

β_{1} = k_{1}\sqrt{\frac{1}{2} (1 + \sqrt{1 + (\frac{σ}{ωε})^{2}})}

α_{1} = k_{1}\sqrt{\frac{1}{2} (−1 + \sqrt{1 + (\frac{σ}{ωε})^{2}})}

La tangent de pèrdues és tan δ, i si aquesta és >> 1 tindrem un bon conductor, i si és << 1 en tindrem un de dolent:

tan δ = \frac{σ}{ωε}

Impedància d’un conductor:

η = η_{0} \frac{e^{j \frac{δ}{2}}}{(1 + tan^{2} δ)\frac{1}{4}}